题目内容
设无穷等比数列的公比为q,且,表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)证明: ()的充分必要条件为;
(Ⅲ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.
(Ⅰ);(Ⅱ)答案详见解析;(Ⅲ)答案详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由已知得,,,,又,根据取整函数的性质,得,,.进而求;(Ⅱ)充分性的证明:因为,且,故,从而;必要性的证明,因为,故,又,,则有;(Ⅲ)已知数列的前项和(),可求得,由取整函数得,,故,要证明,只需证明,故可联想到,则;
试题解析:(Ⅰ)解:因为等比数列的,,所以,,.
所以,,.则.
(Ⅱ)证明:(充分性)因为,所以对一切正整数n都成立.
因为,,所以.
(必要性)因为对于任意的,,
当时,由,得;当时,由,,得.
所以对一切正整数n都有.因为,,所以对一切正整数n都有.
(Ⅲ)证明:因为,所以,
.
因为,所以,.由,得.
因为,所以,
所以,即.
考点:1、等比数列的通项公式;2、数列前n项和;3、充要条件.
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