题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数y=f(x)为偶函数,求k 的值;
(2)求函数y=f(x)在区间[0,4]上的最大值;
(3)若方程f(x)=0 有且仅有一个根,求实数k 的取值范围.
【答案】(1);(2)当
时,其最大值为
;当
时,其最大值为0.
(3).
【解析】
(1)根据偶函数的定义,即可求出k 的值;
(2)根据定义去掉绝对值,将函数写成分段式,即可知函数的最大值等于,讨论即得;
(3)显然,可知
是方程
的一个根,因为方程f(x)=0 有且仅有一个根,故当
时.方程
无解,当
时,
无解,即可求出实数
的取值范围.
(1)因为函数为偶函数且定义域为
,所以
,令
,
即
,解得
,检验
符合题意.故
.
(2)当时,
,可知
由两段抛物线的一部分组成,因为这两个抛物线的开口均向上,所以其最大值为
,
,
,
,显然
,
当时,其最大值为
;当
时,其最大值为0.
(3)因为是方程
的一个根,方程
有且仅有一个根,所以当
时,方程
无解,且当
时,
无解,
故且
,即
,实数
的取值范围是
.
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