Question

【题目】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）通过对，求导可知,进而再求导可知，通过令进而可知，的极小值点为，从而，整理可知，结合 有极值可知有两个不等的实根，进而可知；（2）通过（1）

构造函数，结合，可知，从而可得结论；（3）通过（1）可知的极小值，利用韦达定理及完全平方关系可知的两个极值之和为，进而问题转化为解不等式，因式分解即得结论.

试题解析：（1）由，得，当时，有极小值，的极值点是的零点，，又，故，有极值，故有实根，从而，即，当时，，故在R上是增函数，没有极值；

当时，有两个相异的实根，．

列表如下：

x
	+	0	–	0	+
		极大值		极小值

故的极值点是．从而．因此，定义域为．

（2）由（1）知，．设，则．

当时，，从而在上单调递增．

因为，所以，故，即．因此．

（3）由（1）知，的极值点是，且，从而

，

记，所有极值之和为，

因为的极值为，所以，．

因为，于是在上单调递减．

因为，于是，故．因此a的取值范围为．