题目内容
【题目】已知二次函数,关于
的不等式
的解集为
,
,设
.
()求
的值.
()
如何取值时,函数
存在极值点,并求出极值点.
()若
,且
,求证:
.
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据二次不等式解集与二次方程根的关系可得,解得
的值.(2)先求导数,再研究导函数零点:没有零点就没有极值点,有零点但不在定义区间,也不是零点;零点在定义区间且附近导函数变号才是零点;(3)先根据二项展开式化简不等式左边式子,并根据基本不等式放缩,再根据倒序相加法求中间的和,利用基本不等式放缩即得结论.
试题解析:()因为关于
的不等式
的解集为
,
即不等式的解集为
,
所以,
所以,
所以,所以
.
()由(
)得
,
所以的定义域为
,
所以,
方程(*)的判别式
.
①当时,
,方程(*)的两个实根为
,
,
则时,
;
时,
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增,所以函数
有极小值点
.
②当时,由
,得
或
,若
,
则,
,故
时,
,
所以函数在
上单调递增.所以函数
没有极值点,
若时,
,
,
则时,
;
时,
;
时,
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
所以函数有极小值点
,有极大值点
,
综上所述,当时,
取任意实数,函数
有极小值点
,
当时,
,函数
有极小值点
,有极大值点
,
(其中,
).
()因为
,所以
,
所以,
令,
则,
因为,所以
,
所以,即
.
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