题目内容
【题目】已知函数(其中
,且
为常数).
(1)若对于任意的,都有
成立,求
的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若方程在
上有且只有一个实根,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
或
【解析】试题分析:(1)求导f′(x)=2(x﹣1)+a(﹣1)=(x﹣1)(2﹣
),且f(1)=0+a(ln1﹣1+1)=0,从而讨论以确定函数的单调性,从而解得;
(2)化简f(x)+a+1=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)+a+1,从而讨论以确定函数的单调性,从而解得.
试题解析:
解(1)…
当时,
对于
恒成立,
在
上单调递增
,此时命题成立;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
当
时,有
.这与题设矛盾.
故的取值范围是
…
(2)依题意,设
,
原题即为若在
上有且只有一个零点,求
的取值范围.
显然函数与
的单调性是一致的.
当时,因为函数
在区间
上递减,
上递增,
所以在
上的最小值为
,
由于,要使
在
上有且只有一个零点,
需满足或
,解得
或
;
当时,因为函数
在
上单调递增,
且,
所以此时在
上有且只有一个零点;
当时,因为函数
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
又因为,所以当
时,总有
,
,
所以在
上必有零点,又因为
在
上单调递增,
从而当时,
在
上有且只有一个零点.
综上所述,当或
或
时,
方程在
上有且只有一个实根.
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【题目】2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位:千万立方米)与年份
(单位:年)之间的关系.并且已知
关于
的线性回归方程是
,试确定
的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;
(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A类:每车补贴1万元,B类:每车补贴2.5万元,C类:每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:
类型 |
|
|
|
车辆数目 | 10 | 20 | 30 |
为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“”,求
的分布列及期望.