Question

【题目】已知函数．

（1）求的最小值；

（2）求证：x＞0时， ．

Answer 1

【答案】(1) 当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数求导，列出表格得到导函数在定义域内的正负情况，从而得到函数的最值。（2）构造函数设（x＞0），研究这个函数的单调性，找到函数的最值，使得函数的最小值大于0即可.

解析：

（1）由f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）=ex﹣2=0得，x=ln2，

列表如下

x		ln2	（ln2，+∞）
	-	0	+
	单调递减	极小值	单调递增

故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；

（2）证明：设（x＞0），则g′（x）=ex﹣2x+2，

由（1）知g′（x）=ex﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），

于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，

而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，

即x＞0时，ex＞x2﹣2x+1．