Question

【题目】设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，

∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．

故a的范围是[0，+∞）

（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有

f（x0）=f（x0+Tk），

由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），

∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）．

又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且

…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，

∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数

（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为Tg，则

h（x）=c1g（x），则对任意x0∈R，

h（x0+Tg）=c1g（x0+Tg）=c1g（x0）=h（x0），

故h（x）是周期函数；

必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．

若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，

x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1Tk＞x1，

∴f（x2+N1Tk）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1Tk）=h（x2）．

又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而

h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）＞0≠h（x2），矛盾．

综上，f（x）＞0恒成立．

由f（x）＞0恒成立，

任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg，

即[x0﹣Tg，x0][x0﹣N2Th，x0]，

∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，

∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…=R．

h（x0）=g（x0）f（x0）=h（x0﹣N2Th）=g（x0﹣N2Th）f（x0﹣N2Th），

∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0．

因此若h（x0）=h（x0﹣N2Th），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2Th），且f（x0）=f（x0﹣N2Th）=c．

而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．

综上，必要性得证

【解析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．