Question

【题目】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）
（1）证明：直线l恒过定点，并判断直线l与圆的位置关系；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短弦的长度．

Answer 1

【答案】解：（1）直线l的方程：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，
整理得：（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∵m∈R，∴，解得x=3，y=1，
即直线l恒过定点D（3，1）
把D点的坐标代入圆C的方程：（3﹣1）2+（1﹣2）2＜25，
所以点D在圆内，直线l经过圆C内的一点D，
故直线l与圆C相交．…（6分）
（2）当直线l垂直于CD时，被截得的弦长最短
由C（1，2），D（3，1）∴，
所以直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的斜率为2，
此时直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0
又|CD|=，所以，最短弦长为2
所以，直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x﹣y﹣5=0，
最短弦长为2
【解析】（1）先化简直线方程：将m分离出来，列出方程组求出定点的坐标，判断出定点与圆的位置关系，可得到直线l与圆的位置关系；
（2）当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短，求出CD的斜率，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，结合定点的坐标求出直线l的方程，由弦长公式求出最短弦的长度．