题目内容
【题目】已知向量 =(
sin
,1),
=(cos
,cos2
),f(x)=
.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)将f(x)的图象向右平移 个单位长度得到g(x)的图象,若g(x)﹣k≤0在区间[0,
]上恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意得,f(x)=
=
sin
cos
+cos2
= sin
+
cos
+
=
,
由 得,
,
∴函数f(x)的单调递增区间是
(2)解:将f(x)的图象向右平移 个单位长度得到g(x)=
的图象,
当 时,
,∴
,
∴ ,
∵g(x)﹣k≤0在区间[0, ]上恒成立,
∴k≥g(x)max= ,
∴实数k的取值范围是[ ,+∞).
【解析】(1)利用向量的数量积运算、二倍角公式,两角和的正弦公式化简解析式,由正弦函数的增区间求出f(x)单调递增区间;(2)由三角函数图象的平移法则求出g(x),由由x的范围和正弦函数的性质求出g(x)的值域,由条件和恒成立问题转化为求最值,从而求出实数k的取值范围.
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