题目内容
【题目】己知函数 (其中e为自然对数的底数),
.
(I)求函数的单调区间;
(II)设,.已知直线
是曲线
的切线,且函数
上是增函数.
(i)求实数的值;
(ii)求实数c的取值范围.
【答案】(I)见解析;(II)(1);(2)
.
【解析】试题分析:(I)求导得,讨论
和
即可;
(II) (i)由相切得,解方程即可;(ii)先构造
来讨论
和
的大小,得
,求导,得
. 由函数
在
上是增函数,且曲线
在
上连续不断知:
在
,
上恒成立,分两段讨论即可.
试题解析:
(Ⅰ)∵,
∴,
①当时,
在时,
,在
时,
,
故在
上是减函数,在
上是增函数;
②当时,
在时,
,在
时,
,
故在
上是增函数,在
上是减函数;
(Ⅱ)(1)对求导,得
,
设直线与曲线
切于点
,则
解得
,∴
;
(2)记函数
,
,
求导,得,
当时,
恒成立,
当时,
,
∴
,
∴在
上恒成立,故
在
上单调递减.
又,
,
曲线在[1,2]上连续不间断,
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知,唯一的∈(1,2),使
.
∴当时,
>0,当
时,
<0.
∴当时,
=
求导,得
由函数在
上是增函数,且曲线
在
上连续不断知:
在
,
上恒成立.
①当时,
≥0在
上恒成立,
即在
上恒成立,
记,
,则
,
,
当 变化时,
,
变化情况列表如下:
3 | |||
0 | |||
极小值 |
∴min=
极小值=
,
故“在
上恒成立”,只需
,即
.
②当时,
,
当时,
在
上恒成立,
综合①②知,当时,函数
在
上是增函数.
故实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】(本小题满分12分) 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过):
空气质量指数 | ||||||
空气质量等级 |
|
|
|
|
|
|
该社团将该校区在年
天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如下图,把该直方图所得频率估计为概率.
(Ⅰ)请估算年(以
天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);
(Ⅱ)该校年
月
、
日将作为高考考场,若这两天中某天出现
级重度污染,需要净化空气费用
元,出现
级严重污染,需要净化空气费用
元,记这两天净化空气总费用为
元,求
的分布列及数学期望.