题目内容
12.已知$\overrightarrow a=(\frac{x^2}{3},x),\overrightarrow b=(x,x-3)$,x∈[-4,4],$f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b$(1)求f(x) 的解析式.
(2)求f(x)的最小值,并求此时$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角大小.
分析 (1)将$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$代入函数的表达式,整理即可;
(2)先求出函数f(x)的导数,从而求出函数的单调区间,进而求出函数的最小值,求出x的值,代入夹角公式,求出角的大小即可.
解答 解:(1)$f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3$,
(2)f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0,得x=-3或x=1,列表如下:
x | -4 | (-4,-3) | -3 | (-3,1) | 1 | (1,4) | 4 |
f′(x) | 正 | 0 | 负 | 0 | 正 | ||
f(x) | $\frac{20}{3}$ | 单调增 | 9 | 单调减 | $-\frac{5}{3}$ | 单调增 | $\frac{26}{3}$ |
∴$\overrightarrow a=(\frac{1}{3},1),\overrightarrow b=(1,-2)$,$|\overrightarrow a|=\frac{{\sqrt{10}}}{3},|\overrightarrow b|=\sqrt{5}$,
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{,_{\;}}∴θ=\frac{3π}{4}$.
点评 本题考查了平面向量的数量积的运算,考查函数的单调性、最值问题,考查夹角公式,是一道中档题.
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