题目内容
某水库年初有水量a（a≥10000），其中含污染 物 p0（设水与污染 物能很好的混合），当年的降水量与月份x的关系是f（x）=20-|x-7|（1≤x≤12，x∈N），而每月流入水库的污水与蒸发的水量都为r，且污水含污染物p（p＜r），设当年水库中的水不作它用．
（1）求第x月份水库的含污比g（x）的表达式（含污比=
）；
（2）当时p0=0，求水质最差的月份及此月的含污比．
（1）求第x月份水库的含污比g（x）的表达式（含污比=
| 污染物 |
| 总库容 |
（2）当时p0=0，求水质最差的月份及此月的含污比．
考点：根据实际问题选择函数类型
专题：应用题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列
分析：（1）分别求当1≤x≤6（x∈N）时，当7≤x≤12（x∈N）时的库容总量，从而求g（x）=
；
（2）利用分段函数及分离常数法求函数的最大值及最大值点，即可得水质最差的月份及此月的含污比．
|
（2）利用分段函数及分离常数法求函数的最大值及最大值点，即可得水质最差的月份及此月的含污比．
解答：
解：（1）第x月水库含污染物 p0+px；
库容总量为：a+f（1）+f（2）+…+f（x）．
当1≤x≤6（x∈N）时，f（x）=13+x，
此时库容总量为：a+14+15+…+（13+x）=a+
=
；
当7≤x≤12（x∈N）时，f（x）=27-x，
此时库容总量为a+99+20+19+…+（27-x）=
；
（1≤x≤6，x∈N）（7≤x≤12，x∈N）
∴g（x）=
；
（2）当1≤x≤6 时，g（x）=
，而y=（x+
+27）在（0，
a）上是减函数，且恒大于零．
∴g（x）是增函数，
∴当x=6时，gmax（x）=
，
当7≤x≤12时，g（x）=
，
易知g（x）是增函数．
∴当x=12时，gmax（x）=
，
∵a＞10000，
∴
＞
，
∴水质最差的是十二月份，其含污比为
．
库容总量为：a+f（1）+f（2）+…+f（x）．
当1≤x≤6（x∈N）时，f（x）=13+x，
此时库容总量为：a+14+15+…+（13+x）=a+
| (14+13+x)x |
| 2 |
| x2+27x+2a |
| 2 |
当7≤x≤12（x∈N）时，f（x）=27-x，
此时库容总量为a+99+20+19+…+（27-x）=
| -x2+53x+2a-84 |
| 2 |
（1≤x≤6，x∈N）（7≤x≤12，x∈N）
∴g（x）=
|
（2）当1≤x≤6 时，g（x）=
| 2p | ||
x+
|
| 2a |
| x |
| 2 |
∴g（x）是增函数，
∴当x=6时，gmax（x）=
| 12p |
| 198+2a |
当7≤x≤12时，g（x）=
| 2p | ||
-x+
|
易知g（x）是增函数．
∴当x=12时，gmax（x）=
| 12p |
| 204+a |
∵a＞10000，
∴
| 12p |
| 204+a |
| 12p |
| 198+2a |
∴水质最差的是十二月份，其含污比为
| 12p |
| 204+a |
点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及分段函数的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=3若数列{an}满足
-
=d（n∈Nn，d为常数），则称数列{an}为“调和数列”．已知数列{
}为“调和数列”，且x1+x2+…+x20=200，则x3•x18的最大值为（ ）
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| xn |
| A、50 | B、100 |
| C、150 | D、200 |
设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+3y的最大值为（ ）
|
| A、22 | B、20 | C、5 | D、4 |