题目内容

【题目】已知ABC为等腰直角三角形, 分别是边的中点,现将沿折起,使平面 分别是边的中点,平面 分别交于 两点.

(1)求证:

(2)求二面角的余弦值;

(3)的长.

【答案】(1)见解析,(2) (3)

【解析】试题分析:(1)ED∥平面BCHEDHI又因为EDBC,所以IHBC;(2建立空间直角坐标系,n1(1,-1,1)n2(0,1,2),求出二面角;(3λ·n20,解得λ所以AGAF.

试题解析:

(1)证明:因为DE分别是边ACAB的中点,所以EDBC.

因为BC平面BCHED平面BCH,所以ED∥平面BCH.

因为ED平面BCHED平面AED,平面BCH平面AEDHI,所以EDHI.

又因为EDBC,所以IHBC.

(2)如图,建立空间直角坐标系,由题意得,D(0,0,0)E(20,0)A(0,0,2)F(3,1,0)C(0,2,0)H(0,0,1)B(4,2,0)(2,0,2)(1,1,0)(0,-21)(1,0,0)

设平面AGI的法向量为n1(x1y1z1)

z11,解得x11y1=-1,则n1(1,-1,1)

设平面CIG的法向量为n2(x2y2z2)

z22,解得y21,则n2(0,1,2)

所以cosn1n2〉=,所以二面角AGIC的余弦值为.

(3)(2)知,(3,1,-2)

λ(3λλ,-2λ)0<λ<1

(0,0,-1)(3λλ,-2λ)(3λ,-λ2λ1),由·n20,解得λ

AGAF.

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