题目内容
【题目】已知△ABC为等腰直角三角形, , , 分别是边和的中点,现将沿折起,使平面, 分别是边和的中点,平面与, 分别交于, 两点.
(1)求证: ;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求的长.
【答案】(1)见解析,(2) ;(3) .
【解析】试题分析:(1)ED∥平面BCH,ED∥HI,又因为ED∥BC,所以IH∥BC;(2)建立空间直角坐标系,n1=(1,-1,1),n2=(0,1,2),求出二面角;(3)=λ,由·n2=0,解得λ=,所以AG=AF==.
试题解析:
(1)证明:因为D,E分别是边AC和AB的中点,所以ED∥BC.
因为BC平面BCH,ED平面BCH,所以ED∥平面BCH.
因为ED平面BCH,ED平面AED,平面BCH∩平面AED=HI,所以ED∥HI.
又因为ED∥BC,所以IH∥BC.
(2)如图,建立空间直角坐标系,由题意得,D(0,0,0),E(2,0,0),A(0,0,2),F(3,1,0),C(0,2,0),H(0,0,1),B(4,2,0),=(-2,0,2),=(1,1,0),=(0,-2,1),==(1,0,0).
设平面AGI的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令z1=1,解得x1=1,y1=-1,则n1=(1,-1,1).
设平面CIG的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
令z2=2,解得y2=1,则n2=(0,1,2).
所以cos〈n1,n2〉==,所以二面角A-GI-C的余弦值为.
(3)由(2)知,=(3,1,-2),
设=λ=(3λ,λ,-2λ),0<λ<1,
则=-=(0,0,-1)-(3λ,λ,-2λ)=(-3λ,-λ,2λ-1),由·n2=0,解得λ=,
故AG=AF==.
【题目】一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况,随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况,如表:
网购金额 (单位:千元) | 频数 | 频率 |
3 | ||
9 | ||
15 | ||
18 | ||
合计 | 60 |
若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”,网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”,已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为.
(1)确定,,,的值,并补全频率分布直方图;
(2)试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数;若平均数和中位数至少有一个不低于2千元,则该网店当日评为“皇冠店”,试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.