题目内容
【题目】已知圆,圆
,动圆
与圆
内切并且与圆
外切,圆心
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)已知曲线与
轴交于
两点,过动点
的直线与
交于
(不垂直
轴),过
作直线交
于点
且交
轴于点
,若
构成以
为顶点的等腰三角形,证明:直线
,
的斜率之积为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)圆与圆
外切且与圆
内切,所以
,椭圆
的定义可知,曲线
是以
,
为左、右焦点,长半轴长为3,短半轴长为
的椭圆(右顶点除外),进而得椭圆方程;
(Ⅱ)设直线的方程为
,
,
,与椭圆联立得
,若
构成以
为顶点的等腰三角形,则
,得
,结合韦达定理得
,由
即可得解.
试题解析:
(Ⅰ)由已知得圆的圆心为
,半径
;圆
的圆心为
,半径
.
设圆的圆心为
,半径为
.
因为圆与圆
外切且与圆
内切,
所以,
由椭圆的定义可知,曲线
是以
,
为左、右焦点,长半轴长为3,短半轴长为
的椭圆(右顶点除外),
其方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为
,
,
,
联立方程组消去
,得
,
由根与系数关系,得
若构成以
为顶点的等腰三角形,则
,
即.
设,则
,即
,
,
化简得,
所以为定值.
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