题目内容
(本小题满分12分)
如图,椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点。
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点,若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围。
如图,椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点。
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点,若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围。
(Ⅰ)
(Ⅱ)(,+)
(Ⅱ)(,+)
本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分.
解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,
所以,
即1=
因此,椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:
整理得
所以
因为恒有,所以AOB恒为钝角.
即恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0.
a2<a2b2- b2,a2<( a2-1)b2= b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>或a<(舍去),即a>,
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).
解法二:
(Ⅰ)同解法一,
(Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时,
x=1代入=1.
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2,yA2>1,即>1,
解得a>或a<(舍去),即a>.
(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2k2-a2b2=0,
故x1+x2=
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由题意得(a2- a2b2+b2)k2- a2 b2<0对kR恒成立.
①当a2- a2b2+b2>0时,不合题意;
②当a2- a2b2+b2=0时,a=;
③当a2- a2b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a.
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).
解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,
所以,
即1=
因此,椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:
整理得
所以
因为恒有,所以AOB恒为钝角.
即恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0.
a2<a2b2- b2,a2<( a2-1)b2= b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>或a<(舍去),即a>,
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).
解法二:
(Ⅰ)同解法一,
(Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时,
x=1代入=1.
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2,yA2>1,即>1,
解得a>或a<(舍去),即a>.
(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2k2-a2b2=0,
故x1+x2=
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由题意得(a2- a2b2+b2)k2- a2 b2<0对kR恒成立.
①当a2- a2b2+b2>0时,不合题意;
②当a2- a2b2+b2=0时,a=;
③当a2- a2b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a.
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).
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