在平面直角坐标系xOy中.F是抛物线C:x2=2py的焦点.M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点.过M.F.O三点的圆的圆心为Q.点Q到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{4}$．过定点D(0.p)作直线与抛物线C相交于A.B两点．(I)求抛物线C的方程,(II)若点N是点D关于坐标原点O的对称点.求△ANB面积的最小值,(Ⅲ)是否存在垂直于y轴的直线l.使得l被以AD为直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{4}$．过定点D（0，p）作直线与抛物线C相交于A，B两点．
（I）求抛物线C的方程；
（II）若点N是点D关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅲ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

分析（I）依题意知F（0，$\frac{p}{2}$），由题意知$\frac{3p}{4}$=$\frac{3}{4}$，由此能求出抛物线C的方程．
（II）依题意可知点N的坐标，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程，与抛物线联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和的x₁x₂表达式，代入三角形面积公式中，可得k=0时△ANB面积有最小值，并且求出最小值．
（Ⅲ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x-0）（x-x₁）-（y-p）（y-y₁）=0，将直线方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，则|x₁-x₂|²=4[a-$\frac{p}{2}$）y₁+a（p-a）]．由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．

解答解：（I）抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），
圆心Q在线段OF的垂直平分线y=$\frac{p}{4}$上．
因为抛物线C的准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，
所以$\frac{3p}{4}$=$\frac{3}{4}$，即p=1．
因此抛物线C的方程为x²=2y．
（II）依题意得：点N的坐标为N（0，-1），可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线AB的方程为y=kx+1，
直线方程与x²=2y联立，消去y得x²-2kx-2=0，
所以由韦达定理得x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2．

由图可得：S_△ABN=S_△BCN+S_△ACN=|x₁-x₂|=2$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
∴当k=0，（S_△ABN）_min=2$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x-0）（x-x₁）+（y-p）（y-y₁）=0，
将直线方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，
则|x₁-x₂|²=4[a-$\frac{p}{2}$）y₁+a（p-a）]．
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
则有|PQ|²=|x₃-x₄|²=4[a-$\frac{p}{2}$）y₁+a（p-a）]．
令a-$\frac{p}{2}$=0，得a=$\frac{p}{2}$，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=$\frac{p}{2}$，
即抛物线的通径所在的直线．