题目内容
【题目】已知函数
的最小正周期为4
，其图象关于直线
对称，给出下面四个结论：
①函数
在区间
上先增后减；②将函数的图象向右平移
个单位后得到的图象关于原点对称；③点
是函数图象的一个对称中心；④函数在
上的最大值为1．其中正确的是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
【答案】C
【解析】
根据最小正周期为4π，其图象关于直线
对称，求解f（x）的解析式，即可判断下面各结论．
函数
的最小正周期为4π，可得
．
∴ω
其图象关于直线对称．
即
φ
，
可得：φ
，k∈Z．
∵
．
∴φ
．
∴f（x）的解析式为f（x）＝2sin（
）；
对于①：令
，k∈Z．
可得：
．
∴[0，
]是单调递增，
令
，k∈Z．
可得：
4kπ．
∴[，
]是单调递减，
∴函数f（x）在区间
上先增后减；
对于②：将函数f（x）的图象向右平移
个单位后得到：y＝2sin（
）＝2sin（
x
）没有关于原点对称；
对于③：令x
，可得f（
）＝2sin（
）＝0，∴点
是函数f（x）图象的一个对称中心；
对于④：由x∈[π，2π]上，∴∈[，
]，所以当x＝π时取得最大值为
.
∴正确的是：①③．
故选：C．
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