Question

13．已知函数f（x）=x²+mx+2（其中m∈R）与g（x）=x+3有交点．
（1）若实数x为两函数图象交点的横坐标．请写出m关于x的函数关系式；
（2）在（I）的条件下．试利用单调性的定义求m（x）的单调区间：
（3）若对任意的实数x∈[1，+∞）．函数y=f（x）图象恒在y=g（x）的图象上方，结合（1）（2）的结论，求出实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两个函数有交点，通过判别式列出关系式即可．
（2）直接利用单调性的定义，证明函数在x＜0与x＞0时都是减函数．得到单调区间．
（3）利用二次函数的性质与一次函数的性质，列出不等式组借助（1）（2）的结论求解即可．

解答 解：（1）实数x为两函数f（x）=x²+mx+2（其中m∈R）与g（x）=x+3图象交点的横坐标．
可得x²+mx+2=x+3．解得m=$-x+\frac{1}{x}+1$．
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
m（x₁）-m（x₂）=$-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}+1$+${x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}-1$=x₂-x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
可得m（x₁）＞m（x₂），函数是减函数．
x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
m（x₁）-m（x₂）=$-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}+1$+${x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}-1$=x₂-x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
可得m（x₁）＞m（x₂），函数是减函数．
函数的单调减区间为：（-∞，0），（0，+∞）．
（3）对任意的实数x∈[1，+∞）．函数y=f（x）图象恒在y=g（x）的图象上方，
就是x²+mx+2≥x+3．在x∈[1，+∞）恒成立．即m≥$-x+\frac{1}{x}+1$，在x∈[1，+∞）恒成立．
只需m≥（$-x+\frac{1}{x}+1$）_max，x∈[1，+∞），由（2）可知y=$-x+\frac{1}{x}+1$在x∈[1，+∞）的单调减函数，
可得（$-x+\frac{1}{x}+1$）_max=1，
∴m≥1．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质以及函数的单调性的应用，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．