题目内容
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求证：BC⊥AA1．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M．
（1）求证：BC⊥AA1．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M．
证明：（Ⅰ）因为∠ACB=90°，所以AC⊥CB，
又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1，
又AA1?平面ACC1A1，所以BC⊥AA1．
（II）连接A1B，交AB1于O点，连接MO，
在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点，所以OM∥A1N
又OM?平面AB1M，A1N不属于平面AB1M，
所以A1N∥平面AB1M．
又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1，
又AA1?平面ACC1A1，所以BC⊥AA1．
（II）连接A1B，交AB1于O点，连接MO，
在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点，所以OM∥A1N
又OM?平面AB1M，A1N不属于平面AB1M，
所以A1N∥平面AB1M．
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