题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求函数在点
点处的切线方程;
(2)当时,求函数
的极值点和极值;
(3)当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
的极大值
,函数无极小值;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义可得切线斜率,再根据点斜式可得切线方程,(2)求函数极值,先求函数导数在定义域上的零点,根据导函数符号变化规律确定是否为极值以及极大值、极小值,(3)不等式恒成立问题,一般转化为求对应函数最值问题,而求含参数函数最值,往往需要讨论,讨论点一般为使导函数符号变化的值.
试题解析:(1)由题,所以
,
所以切线方程为:
(2)由题时,
,所以
所以;
,
所以在
单增,在
单减,所以
在
取得极大值
.
所以函数的极大值
,函数无极小值
(3),令
,
,令
,
(1)若,
,
在
递增,
∴在
递增,
,从而
,不符合题意
(2)若,当
,
,∴
在
递增,
从而,以下论证同(1)一样,所以不符合题意
(3)若,
在
恒成立,
∴在
递减,
,
从而在
递减,∴
,
,
综上所述, 的取值范围是
.
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