题目内容
【题目】设函数,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,讨论函数
与
的图象的交点个数.
【答案】(1)当时,函数
的单调增区间是
,无减区间,当
时,函数
的单调增区间是
,减区间是
;(2)两函数图象总有一个交点.
【解析】试题分析:(1)在定义域的前提下对函数求导,对分类:
,
.可函数的单调区间;(2)设
,本题可转化为求
的零点个数问题,对
分类讨论即可.
试题解析:(1)函数的定义域为
,
,
当时,
,所以函数
的单调增区间是
,无减区间;
当时,
;当
时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增.
综上,当时,函数
的单调增区间是
,无减区间;
当时,函数
的单调增区间是
,减区间是
.
(2)解:令,
,问题等价于求函数
的零点个数.
当时,
,
,有唯一零点;
当时,
;
当时,
,函数
为减函数,注意到
,
,所以
有唯一零点;
当时,
或
时,
,
时
,所以函数
在
和
单调递减,在
单调递增,注意到
,
,所以
有唯一零点;
当时,
或
时
,
时
,所以函数
在
和
单调递减,在
单调递增,注意到
,所以
,而
,所以
有唯一零点.
综上,函数有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.
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