题目内容
【题目】已知数列{an+1﹣2an}是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．
（1）证明：数列{ 
}是等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）记Cn= 
（n≥2），证明： 
（ 
）n＜ 
+…+ 
≤1﹣（ ）n﹣1 ．
【答案】
（1）解：由已知得an+1﹣2an=（a2﹣2a1）2n﹣1=2n…2分
两端同除 2n+1得： 
= 
，所以数列 { 
}是以首项为 ，公差为 的等差数列
（2）解：由 （1）知 = n，所以an=n2n﹣1，
Sn=120+221+…+n2n﹣1，
则2Sn=221+222…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，
相减得：﹣Sn=120+21+…+2n﹣1﹣n2n，
所以﹣Sn= 
﹣n2n，
即Sn=（n﹣1）2n+1
（3）解：Cn=2n﹣2，（n≥2）
∵ 
= 
，
∴ 
+…+ 
+…+ 
= 
= ﹣ 
，
当≥2时，∵2n+1﹣2n=2n≥4，∴2n+1﹣4≥2n 
，
∴ 
，
∴ +…+ 
+…+ 
= 
=1﹣ 
所以原不等式得证
【解析】（1）由已知得an+1﹣2an=（a2﹣2a1）2n﹣1=2n得： = ，即数列 { }是等差数列； （2）由 （1）知 = n，所以an=n2n﹣1 ， 利用错位相减法可求数列{an}的前n项和Sn；（3）Cn=2n﹣2，（n≥2），利用 = 
证明即可．
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
．
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