Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0 ， 证明：f′（x0）＜0．

Answer 1

【答案】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）= =﹣ ，
① 若a＞0，则由f′（x）=0，得x= ，且当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，
当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0， ）单调递增，在（ ，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，f′（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
（II）设函数g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g′（x）= = ，
当x∈（0， ）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，
所以g（x）＞0，
故当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（ ），
不妨设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），0＜x1＜x2 ，
则0＜x1＜ ＜x2 ，
由（II）得，f（ ﹣x1）=f（ ）＞f（x1）=f（x2）=0，
又f（x）在（ ，+∞）单调递减，
∴ ﹣x1＜x2 ， 于是x0= ，
由（I）知，f′（ x0）＜0．
【解析】（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜ 时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．