Question

【题目】已知幂函数 在（0，+∞）上为增函数，g（x）=f（x）+2
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）对于任意x∈[1，2]，都存在x1 ， x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2），若f（x1）=g（x2），求实数t的值；
（3）若2xh（2x）+λh（x）≥0对于一切x∈[1，2]成成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由幂函数的定义可知：m2+m﹣1=1 即m2+m﹣2=0，

解得：m=﹣2，或m=1，

∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m＜

综上：m=1

∴f（x）=x2

（2）解：g（x）=﹣x2+2|x|+t

据题意知，当x∈[1，2]时，fmax（x）=f（x1），gmax（x）=g（x2）

∵f（x）=x2在区间[1，2]上单调递增，

∴fmax（x）=f（2）=4，即f（x1）=4

又∵g（x）=﹣x2+2|x|+t=﹣x2+2x+t=﹣（x﹣1）2+1+t

∴函数g（x）的对称轴为x=1，∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减，

∴gmax（x）=g（1）=1+t，即g（x2）=1+t，

由f（x1）=g（x2），得1+t=4，∴t=3

（3）解：当x∈[1，2]时，2xh（2x）+λh（x）≥0等价于2x（22x﹣2﹣2x）+λ（2x﹣2﹣x）≥0

即λ（22x﹣1）≥﹣（24x﹣1），∵22x﹣1＞0，∴λ≥﹣（22x+1）

令k（x）=﹣（22x+1），x∈[1，2]，下面求k（x）的最大值；

∵x∈[1，2]∴﹣（22x+1）∈[﹣17，﹣5∴kmax（x）=﹣5

故λ的取值范围是[﹣5，+∞）

【解析】（1）由幂函数的定义得：m=﹣2，或m=1，由f（x）在（0，+∞）上为增函数，得到m=1，由此能求出f（x）．（2）g（x）=﹣x2+2|x|+t，据题意知，当x∈[1，2]时，fmax（x）=f（x1），gmax（x）=g（x2），由此能求出t．（3）当x∈[1，2]时，2xh（2x）+λh（x）≥0等价于λ（22x﹣1）≥﹣（24x﹣1），由此能求出λ的取值范围．