题目内容
19.已知a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(Ⅰ)若f(0)≥1,求a的取值范围;
(Ⅱ)求f(x)的最小值g(a).
分析 (Ⅰ)由f(0)=-a•|-a|,分当a≤0时和当a≥0时两种情况,分别求解满足f(0)≥1的a的取值范围,综合讨论结果,可得答案;
(Ⅱ)结合二次函数的图象和性质,进行分类讨论,求出各种情况下函数的最值,综合讨论结果,可得f(x)的最小值g(a).
解答 解:(I)∵函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.
∴f(0)=-a•|-a|,
当a≤0时,-a≥0,由f(0)=(-a)2≥1得:a≤-1,或a≥1,
即此时a≤-1,
当a≥0时,-a≤0,f(0)=-(a)2≥1无解,
综上所述:a≤-1,
(Ⅱ)当x<a时,函数f(x)=2x2-(x-a)2=x2+2ax-a2,
当x≥a时,函数f(x)=2x2+(x-a)2=3x2-2ax+a2,
当a<0时,函数f(x)在(-∞,$\frac{a}{3}$]上为减函数,在[$\frac{a}{3}$,+∞)上为增函数,故此时x=$\frac{a}{3}$时,函数取最小值g(a)=$\frac{2}{3}$a2,
当a≥0时,函数f(x)在(-∞,-a]上为减函数,在[a,+∞)上为增函数,故此时x=-a时,函数取最小值g(a)=-2a2,
综上所述:g(a)=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}{a}^{2},a<0\\-2{a}^{2},a≥0\end{array}\right.$
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.
练习册系列答案
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A. | (a+b)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)≥4 | B. | |a-b|+$\frac{1}{a-b}$≥2 | C. | $\sqrt{a+3}$-$\sqrt{a+1}$≤$\sqrt{a+2}$-$\sqrt{a}$ | D. | $\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$ |