Question

7．定义在R上的函数f（x）满足f（xy）=xf（y）+yf（x），判断f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 用赋值法，令x=y=1和x=y=-1，求出f（1）=f（-1）=0；再令y=-1，即得f（-x）与f（x）的关系，从而判定f（x）的奇偶性．

解答 解：定义域R内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
令x=y=1，得f（1）=0；
令x=y=-1，得f（-1）=0；
令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数．

点评 本题考查了判断函数奇偶性的应用问题，解题时应利用赋值法，是基础题目．