Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（2，-1）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{A}{2}，cos（B+C））$，A，B，C为△ABC的内角，其对应边应为a，b，c．
（1）若A=120°，求$|\overrightarrow n|$的值；
（2）当$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取得最大值时，求角A的大小；
（3）在（2）成立的条件下，当$a=\sqrt{3}$时，求b²+c²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A=120°，可得B+C=60°，利用数量积运算性质即可得出$|\overrightarrow n|$；
（2）$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=-2$（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．
（3）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，利用基本不等式可得：b²+c²=3+$\sqrt{3}$bc≤3+$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）∵A=120°，∴B+C=60°，
∴$|\overrightarrow n|$=$\sqrt{si{n}^{2}6{0}^{°}+co{s}^{2}6{0}^{°}}$=1；
（2）$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$2sin\frac{A}{2}$-cos（B+C）
=cosA+2$sin\frac{A}{2}$
=$1-2si{n}^{2}\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$
=-2$（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
当$sin\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0°，180°），A=30°时，$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取得最大值．
（3）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=3+$\sqrt{3}$bc≤3+$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$，
化为b²+c²≤$\frac{6}{2-\sqrt{3}}$=$12+6\sqrt{3}$，当且仅当b=c=6+3$\sqrt{3}$．
∴b²+c²的取值范围是$（0，12+6\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性、同角三角函数的基本关系式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．