Question

14．设f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，求${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{4-π}$．

Answer 1

分析 对等式两边取积分，分别根据定积分的几何意义和积分公式，即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1{+x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∵${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∵${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1{+x}^{2}}$dx=arctanx|${\;}_{0}^{1}$=arctan1-arctan0=$\frac{π}{4}$-0=$\frac{π}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{4-π}$．
故答案为：$\frac{π}{4-π}$

点评 本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是两边求定积分，属于中档题．