Question

8．若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：
（1）在D内为单调函数；
（2）?[m，n]，使x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则称此函数为D内的可等射函数．
若f（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$（a＞1）为可等射函数，则a的取值范围为（1，2）．

Answer 1

分析 由f（x）为可等射函数，得到a^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，令g（x）=a^x-xlna+a-3，求出其导数后进行分类讨论，能够求出a的取值范围．

解答 解：∵f（x）为可等射函数，
∴f（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$=x有两个不等实根，
即a^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，
令g（x）=a^x-xlna+a-3，
∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），
令g′（x）=0，得x=0．
当a＞1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和求实数的取值范围．构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．