Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{1-{a}^{2}}$=1，点P到两定点A（-1，0）、B（1，0）的距离之比为$\sqrt{2}$，点B到直线PA的距离为1．
（1）求直线PB的方程．
（2）求证：直线PB与椭圆C相切．

Answer 1

分析 （1）确定∠BAC=30°，利用正弦定理得sin∠PBA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即直线PB的倾斜角为45°或135°，可求直线PB的方程；
（2）将y=x-1代入椭圆方程，求得方程的根，即可证明：直线PB与椭圆C相切；

解答 （1）解：过B作PA的垂线，垂足为C，
|AB|=2，|BC|=1知，∠BAC=30°，
在△PAB中，由正弦定理得，$\frac{|PA|}{sin∠PBA}$=$\frac{|PB|}{sin∠PAB}$，
∵$\frac{|PA|}{|PB|}$=$\sqrt{2}$，
∴sin∠PBA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即直线PB的倾斜角为45°或135°，
∴直线PB的方程是y=x-1或y=-x+1．
（2）证明：若PB方程为y=x-1，将y=x-1代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{1-{a}^{2}}$=1，
整理得，x²-2a²x+a⁴=0，解得，x₁=x₂=a²，
所以直线y=x-1与椭圆C相切，
同理直线y=-x+1与椭圆C也相切．

点评 本题考查直线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．