Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=3$\sqrt{2}$，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量数量积的公式求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，结合向量夹角公式进行求解即可．

解答 解：∵|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$，
∴平方得4|$\overrightarrow{a}$|²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=10，
即4+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+18=10，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-3，
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ，满足cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3}{1×3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{3π}{4}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$

点评 本题主要考查向量的数量积的应用，根据数量积的公式求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$是解决本题的关键．