题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线C:
(
)的焦点F在直线
上,平行于x轴的两条直线
,
分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若F在线段上,P是
的中点,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)根据抛物线的焦点在直线上,可求得
的值,从而求得抛物线的方程;
(2)法一:设直线,
的方程分别为
和
且
,
,
,可得
,
,
,
的坐标,进而可得直线
的方程,根据
在直线
上,可得
,再分别求得
,
,即可得证;法二:设
,
,则
,根据直线
的斜率不为0,设出直线
的方程为
,联立直线
和抛物线
的方程,结合韦达定理,分别求出
,
,化简
,即可得证.
(1)抛物线C的焦点坐标为
,且该点在直线
上,
所以,解得
,故所求抛物线C的方程为
(2)法一:由点F在线段上,可设直线
,
的方程分别为
和
且
,
,
,则
,
,
,
.
∴直线的方程为
,即
.
又点在线段
上,∴
.
∵P是的中点,∴
∴,
.
由于,
不重合,所以
法二:设,
,则
当直线的斜率为0时,不符合题意,故可设直线
的方程为
联立直线和抛物线
的方程
,得
又,
为该方程两根,所以
,
,
,
.
,
由于,
不重合,所以
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了了解居民的家庭收入情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收入在3000元到10000元之间,根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图:
(1)经统计发现,该社区居民的家庭月收入(单位:百元)近似地服从正态分布
,其中
近似为样本平均数.若
落在区间
的左侧,则可认为该家庭属“收入较低家庭”,社区将联系该家庭,咨询收入过低的原因,并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区
家庭月收入为4100元,试判断
家庭是否属于“收入较低家庭”,并说明原因;
(2)将样本的频率视为总体的概率.
①从该社区所有家庭中随机抽取户家庭,若这
户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%,求
的最大值;
②在①的条件下,某生活超市赞助了该社区的这次调查活动,并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动,赠送方式为:家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡,家庭月收入不低于
的获赠一次随机购物卡;每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为:
赠送购物卡金额(单位:元) | 100 | 200 | 300 |
概率 |
则家庭预期获得的购物卡金额为多少元?(结果保留整数)