题目内容
【题目】已知函数(
,
为自然对数的底数).
(1)若,求函数
的图像在点
处的切线方程;
(2)在
上单调递增,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)首先求导,求出切点坐标和斜率,再利用点斜式即可求出切线方程.
(2)首先根据题意得到恒成立,令
,得到
,即
,再分类讨论
的范围证明
在
上单调递增即可.
(1)当时,
,
所以,切点为
,
所以切线方程为,即
(2)
所以
因为在
上单调递增,则
恒成立,
令,则
,得
下面证当时,
在
上单调递增.
构造函数
当时,
时,
,
时,
得在
单调递减,在
单调递增.
,即
恒成立,
整理得:恒成立,
即:恒成立,所以
在
上单调递增.
当时,
显然在
上单调递增.
当时,
时,
,
时,
得在
单调递减,在
单调递增.
,即:
恒成立,
整理得:恒成立,
从而恒成立,所以
在
上单调递增.
综上,实数的取值范围为

【题目】随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人,以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系,得到下面的数据表:
是否辅导 性别 | 辅导 | 不辅导 | 合计 |
男 | 25 | 60 | |
女 | |||
合计 | 40 | 80 |
(1)请将表中数据补充完整;
(2)用样本的频率估计总体的概率,估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导子女作业的概率;
(3)根据以上数据,能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关?”.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【题目】年新型冠状病毒疫情爆发,贵州省教育厅号召全体学生“停课不停学”.自
月
日起,高三年级学生通过收看“阳光校园·空中黔课”进行线上网络学习.为了检测线上网络学习效果,某中学随机抽取
名高三年级学生做“是否准时提交作业”的问卷调查,并组织了一场线上测试,调查发现有
名学生每天准时提交作业,根据他们的线上测试成绩得频率分布直方图(如图
所示);另外
名学生偶尔没有准时提交作业,根据他们的线上测试成绩得茎叶图(如图
所示,单位:分)
(1)成绩不低于分为
等,低于
分为非
等.完成以下列联表,并判断是否有
以上的把握认为成绩取得
等与每天准时提交作业有关?
准时提交作业与成绩等次列联表 | 单位:人 | ||
A等 | 非A等 | 合计 | |
每天准时提交作业 | |||
偶尔没有准时提交作业 | |||
合计 |
(2)成绩低于分为不合格,从这
名学生里成绩不合格的学生中再抽取
人,其中每天准时提交作业的学生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:
【题目】羽毛球比赛中,首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球,在每回合争夺中,赢方得1分且获得发球权.每一局中,获胜规则如下:①率先得到21分的一方赢得该局比赛;②如果双方得分出现,需要领先对方2分才算该局获胜;③如果双方得分出现
,先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛,在每回合争夺中,若甲发球时,甲得分的概率为
;乙发球时,甲得分的概率为
.
(Ⅰ)若,记“甲以
赢一局”的概率为
,试比较
与
的大小;
(Ⅱ)根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析,得到如下列联表部分数据.若不考虑其它因素对比赛的影响,并以表中两人发球时甲得分的频率作为
,
的值.
甲得分 | 乙得分 | 总计 | |
甲发球 | 50 | 100 | |
乙发球 | 60 | 90 | |
总计 | 190 |
①完成列联表,并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”?
②已知在某局比中,双方战成,且轮到乙发球,记双方再战
回合此局比赛结束,求
的分布列与期望.
参考公式:,其中
.
临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |