题目内容
【题目】羽毛球比赛中,首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球,在每回合争夺中,赢方得1分且获得发球权.每一局中,获胜规则如下:①率先得到21分的一方赢得该局比赛;②如果双方得分出现,需要领先对方2分才算该局获胜;③如果双方得分出现
,先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛,在每回合争夺中,若甲发球时,甲得分的概率为
;乙发球时,甲得分的概率为
.
(Ⅰ)若,记“甲以
赢一局”的概率为
,试比较
与
的大小;
(Ⅱ)根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析,得到如下列联表部分数据.若不考虑其它因素对比赛的影响,并以表中两人发球时甲得分的频率作为
,
的值.
甲得分 | 乙得分 | 总计 | |
甲发球 | 50 | 100 | |
乙发球 | 60 | 90 | |
总计 | 190 |
①完成列联表,并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”?
②已知在某局比中,双方战成,且轮到乙发球,记双方再战
回合此局比赛结束,求
的分布列与期望.
参考公式:,其中
.
临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)①列联表见解析,有;②分布列见解析,
【解析】
(Ⅰ)根据题意可得前个回合里,甲赢下20个回合,输掉
个回合,且最后一个回合必需获胜,从而得到
,计算出
和
,做商比较,得到答案;
(Ⅱ)①根据题意,填写好列联表,计算出,做出判断;②由列联表得到
和
的值,得到
可取的值,分别计算其概率,写出分布列,计算出期望.
(Ⅰ)∵甲以获胜,则在这
个回合的争夺中,前
个回合里,甲赢下20个回合,输掉
个回合,且最后一个回合必需获胜
∴,
∴,
∵,
∴
(Ⅱ)①由甲发球的总计和乙得分,得到甲得分的数值为,
由乙发球的总计和甲得分,得到乙得分的数值为,
从而得到甲得分总计为,乙得分的总计为
,
所以列联表如下:
甲得分 | 乙得分 | 总计 | |
甲发球 | 50 | 50 | 100 |
乙发球 | 60 | 30 | 90 |
总计 | 110 | 80 | 190 |
∵,∴有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”
②由列联表知
,
,
此局比赛结束,比分可能是,
,
,
∴
若比分为,则甲获胜概率为
,乙获胜概率为
,
∴,
若比分为,则甲获胜的情况可能为:甲乙甲甲,乙甲甲甲,
其概率,
乙获胜的情况可能为:甲乙乙乙,乙甲乙乙,
其概率,
∴,
若比分为,则
,
∴的分布列为
2 | 4 | 5 | |
∴
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