Question

【题目】已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别等于a，b，c，列举如下五个条件:①；②；③cosA+cos2A=0；④a=4；⑤△ABC的面积等于.

（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A大小的条件来求角A；

（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC周长的取值范围

Answer 1

【答案】（1）选择①或②或③均可确定，④与⑤不能唯一确定角；（2）若选择⑤：；若选择④：

【解析】

（1）选择①，由正弦定理得到，然后由二倍角的正弦公式化简求解.

（2）选择添加条件⑤的面积等于，由，解得，然后利用余弦定理和基本不等式化简求解.

（1）选择①作为依据，

由正弦定理得，

由得，

所以

因为

所以，

所以，

即.

选择②或③均可确定，并且难度更低；④与⑤都涉及边长，不能唯一确定角.

（2）选择添加条件⑤的面积等于，

则，.

由余弦定理和基本不等式：周长

，

当且仅当时取等号，

所以的周长的最小值等于12.

，，可以让，此时周长.

的周长的取值范围是.

若选择添加“④”作为条件，用余弦定理和基本不等式，

，

则，时取等号.

又，则.

所以的周长的取值范围是.（与选择⑤结果不同）