Question

1．若二项式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数与第六项的系数之比为1：4，则其常数项为1120．

Answer 1

分析 由题意可得n，写出二项展开式的通项，求出第四项的系数与第六项的系数，由系数比求得a值，再由x的指数为0求得r值，则常数项可求．

解答 解：由二项式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，可得二项展开式有9项，则n=8．
由${T}_{r+1}={C}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{a}{x}）^{r}$=${a}^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{8-2r}$，
当r=3时，可得第四项的系数为${a}^{3}{C}_{8}^{3}$，当r=5时，可得第六项的系数为${a}^{5}{C}_{8}^{5}$，
由$\frac{{a}^{3}{C}_{8}^{3}}{{a}^{5}{C}_{8}^{5}}=\frac{1}{4}$，解得a=±2．
由8-2r=0，得r=4．
∴常数项为：$（±2）^{4}{C}_{8}^{4}=1120$．
故答案为：1120．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与应用，是基础题．