Question

10．已知f（x）-2f（$\frac{1+x}{1-x}$）=7x，求f（x）

Answer 1

分析 根据条件先求出f（x）与f（-$\frac{1}{x}$）的关系，利用方程组法进行求解．

解答 解：∵f（x）-2f（$\frac{1+x}{1-x}$）=7x，①
∴f（$\frac{1+x}{1-x}$）-2f（$\frac{1+\frac{1+x}{1-x}}{1-\frac{1+x}{1-x}}$）=7•$\frac{1+x}{1-x}$，
即f（$\frac{1+x}{1-x}$）-2f（$-\frac{1}{x}$）=7•$\frac{1+x}{1-x}$，
即2f（$\frac{1+x}{1-x}$）-4f（$-\frac{1}{x}$）=14•$\frac{1+x}{1-x}$，②
①+②得f（x）-4f（$-\frac{1}{x}$）=14×$\frac{1+x}{1-x}$+7x，③，
则f（$-\frac{1}{x}$）-4f（x）=14×$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$+7×（-$\frac{1}{x}$）=14×$\frac{x-1}{x+1}$-7×$\frac{1}{x}$，④
④×4得4f（$-\frac{1}{x}$）-16f（x）=56×$\frac{x-1}{x+1}$-28×$\frac{1}{x}$，⑤，
③+⑤得-15f（x）=14×$\frac{1+x}{1-x}$+7x+56×$\frac{x-1}{x+1}$-28×$\frac{1}{x}$，
则f（x）=$\frac{14（x+1）}{15（x-1）}$+$\frac{56（1-x）}{15（x+1）}$-$\frac{7x}{15}$+$\frac{28}{15x}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用方程组法是解决本题的关键．难度较大．