Question

5．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大时x的集合．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入x=$\frac{π}{6}$即可求值．
（2）利用三角函数的周期公式即可求解．
（3）利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$×（$\frac{1-cos2x}{2}$）
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0．
（2）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（3）当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即：x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z时，
f（x）_max=sin（2x+$\frac{π}{3}$）_max-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，三角函数的求值，熟练掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键，属于基础题．