Question

函数，其图象在处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围；
（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，且，
∴即解得，，
∴．……………………………………………………………4分
（Ⅱ）由，可得，
，
则由题意可得有三个不相等的实根，
即的图象与轴有三个不同的交点，
，则的变化情况如下表．

				4
	＋	0	－	0	＋
	↗	极大值	↘	极小值	↗

则函数的极大值为，极小值为．……………………6分
的图象与的图象有三个不同交点，则有：
解得．……………………………………………………8分
（Ⅲ）存在点P满足条件．……………………………………………………………9分
∵，∴，由，得，．当时，；当时，；当时，．可知极值点为，，线段AB中点在曲线上，且该曲线关于点成中心对称．证明如下：∵，∴
，∴．
上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称．故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…………14分

略