Question

【题目】已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P1，P2的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上

Answer 1

【答案】（1）2x＋y＝1（2）证明见解析

【解析】

（1）求出P2的坐标，列出直线的两点式方程，化简即可；

（2）由（1）知，n=1时，2a1＋b1=1成立，假设n=k时，2ak＋bk=1成立，进而证得当n=k+1时，2ak+1＋bk+1＝1也成立，故n∈N*，Pn都在直线l上.

(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，故b2＝，a2＝1×＝，∴P2.

∴直线l的方程为，即2x＋y＝1.

(2)证明:①当n＝1时，由（1）知，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立，

②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．

当n＝k＋1时，则

∴当n＝k＋1时，2ak+1＋bk+1＝1也成立．

由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，

即点Pn在直线l上．