题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且与双曲线
有相同的焦点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆相交于
，
两点，点
满足
，点
，若直线
斜率为
，求
面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2）
，直线的方程为
【解析】
(1)有题意有
可求解.
(2)先讨论特特殊情况, 
是否为原点，然后当
的斜率存在时, 设的斜率为
,表示出
的长度，进一步表示出
的面积,然后求最值.
解：（1）由题设知
，
椭圆的方程为：
（2）法一：
为的中点
又
1）当为坐标原点时
当的斜率不存在时，此时
、
为短轴的两个端点
当的斜率存在时，设的斜率为
设
，
，则
，代入椭圆方程
整理得：
，
到的距离
解一：令
令
或
函数
在
单调递增，
单调递减，
单调递增
时，
为的极大值点，也是最大值点
直线方程为
解二：设
，则
要得
的最大值
，
当
，
时，即
，
时等号成立
，直线方程为
2）当不为原点时，由
，
，
，三点共线
，设，，
，
的斜率为
，
，
，在椭圆上，
得
，即
设直线
代入椭圆方程，整理得
，
到直线的距离
令
，
，
令
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减
，
，此时直线
综上所述：，直线的方程为
解二：设，，为的中点，在椭圆上
当直线的斜率不存在时，设
则
，
， 所以
，则，为短轴上的两个端点
当直线的斜存在时，设
，
消去
得
, 
，
由
得
或
下同解法一
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【题目】
市某机构为了调查该市市民对我国申办
年足球世界杯的态度，随机选取了
位市民进行调查，调查结果统计如下：
支持 | 不支持 | 合计 | |
男性市民 |
| ||
女性市民 |
| ||
合计 |
|
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（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（i）能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有
位退休老人，其中
位是教师，现从这位退休老人中随机抽取
人，求至多有
位老师的概率.
附：
，其中
.
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