Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线与轴交于两点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线的普通方程及曲线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线在第一象限交于点，且线段的中点为，点在曲线上，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求解即可；

（2）联立直线方程和曲线的方程求出点坐标，利用中点坐标表示可得点，结合（1）知，判断点与圆的位置关系求出的最小值即可.

（1）由可得，即，

所以直线的普通方程为.

由可得，即，

将，代入上式，可得，即，

所以曲线的极坐标方程为.

（2）由，可得或，

因为点位于第一象限，所以，

由（1）可得，因为线段的中点为，所以，

由（1）可知曲线表示圆，其圆心为，半径，

所以，

因为点在曲线上，所以.