题目内容
【题目】已知以点为圆心的圆
被直线
:
截得的弦长为
.
(1)求圆的标准方程;
(2)求过与圆
相切的直线方程;
(3)若是
轴的动点,
,
分别切圆
于
,
两点.试问:直线
是否恒过定点?若是,求出恒过点坐标;若不是,说明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)见解析
【解析】
(1)根据圆心到直线的距离,半弦长、半径、构成直角三角形,求解即可;(2)利用圆心到直线的距离等于等于半径求解(3)由题意,则
,
在以
为直径的圆上,设
,写出圆的方程,与已知圆联立,得到含参的直线方程,确定是否过定点.
(1)圆心到直线的距离为
,设圆的半径为
,则
,圆
为
.
(2)设过点的切线方程为
,即
,
圆心到直线
的距离为
,
解得或
,
所以过点的切线方程为
或
;
(3)由题意,则
,
在以
为直径的圆上,
设,则以
为直径的圆的方程:
.
即,
与圆:
,
联立得:,
令得,
,
故无论取何值时,直线
恒过定点
.
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