题目内容
【题目】椭圆
： 
的左右焦点分别为
， 
，左右顶点分别为
， 
， 
为椭圆
上的动点（不与
， 
重合），且直线
与
的斜率的乘积为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过
作两条互相垂直的直线
与
（均不与
轴重合）分别与椭圆
交于
， 
， 
， 
四点，线段
、
的中点分别为
、
，求证：直线
过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1) 
(2)见解析， 经过定点为
【解析】试题分析：（1）根据题意，列出方程，求解
的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线
： 
，联立椭圆方程
，求得
的坐标，
由题设若直线
关于
轴对称后得到直线
，则得到的直线
与
关于
轴对称，得该定点一定是直线
与
的交点，进而求得直线过定点．
试题解析：
（1）设
，由题
，整理得
，
，整理得
，
结合
，得
， 
，
所求椭圆方程为
．
（2）设直线
： 
，联立椭圆方程
，得
，
得
， 
，
∴
， 
，
由题，若直线
关于
轴对称后得到直线
，则得到的直线
与
关于
轴对称，所以若直线
经过定点，该定点一定是直线
与
的交点，该点必在
轴上．
设该点为
， 
， 
，
由
，得
，代入
， 
坐标化简得
，
经过定点为
．
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