Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）

（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；

（2）若圆C上存在两个点P，使得PA2+PB2=a（a＞4），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x-y=0或x-y-4=0；（2）（22-8，22+8）

【解析】

(1)由题得直线AB方程为x-y+1=0， 设直线l的方程为x-y+m=0，由r2=（）2+（）2，解得m=0或-4，即得直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0；（2）设P（x，y），由题得x2+（y-1）2=-2，即得P的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆，由两圆相交可得-2＜＜+2，解不等式即得a的取值范围．

解：（1）根据题意，圆C的标准方程为（x-2）2+y2=4，

所以圆心C（2，0），半径为2．

因为l∥AB，A（-1，0），B（1，2），直线AB的方程为x-y+1=0，且|AB|==2，

设直线l的方程为x-y+m=0，

又由MN=AB=2，圆心C到直线l的距离d=

则有r2=（）2+（）2，即（）2=2，解可得m=0或-4，

故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0；

（2）根据题意，设P（x，y），

若PA2+PB2=a，则PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2+（y-2）2=a，

变形可得：x2+y2-2y+3=，即x2+（y-1）2=-2，

则P的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆；

若圆C上存在两个点P，使得PA2+PB2=a，则圆C与圆x2+（y-1）2=4相交，

两圆的圆心距d′==，

则有-2＜＜+2，

解可得：22-8＜a＜22+8，

故a的取值范围为（22-8，22+8）.