题目内容

已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
(1)椭圆的方程为;(2)面积的最大值为

试题分析:(1)求椭圆的方程,可利用待定系数法求出的值即可,依题意,可得:,从而可得的值,即得椭圆的方程;(2)由于直线l是任意的,故可设其方程为.根据坐标原点到直线的距离为,可得的关系式,从而将双参数问题变为单参数问题.将作为底边,则的高为常数,所以要使的面积最大,就只需边最大.将表示出来便可求得的最大值,从而求得的面积的最大值.
试题解析:(1)依题意,可得:
所以,椭圆
(2)坐标原点到直线的距离为,所以,
联立可得:

所以,
由题意,得:,令,所以

所以,
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