Question

已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).

(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.

Answer 1

(1) x²=4y   (2)

解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x²=2py(p>0),则
=1,所以抛物线C的方程为x²=4y.
(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),直线AB的方程为y=kx+1.
由消去y,整理得x²-4kx-4=0,
所以x₁+x₂=4k,x₁x₂=-4.从而|x₁-x₂|=4.
由
解得点M的横坐标x_M===.
同理,点N的横坐标x_N=.
所以|MN|=|x_M-x_N|=
=8
=.
令4k-3=t,t≠0,则k=.
当t>0时,|MN|=2>2.
当t<0时,|MN|=2≥.
综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.