题目内容

【题目】设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为 ,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.

【答案】
(1)解:由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p

点A到准线l的距离

∵△ABD的面积SABD=

=

解得p=2,所以F坐标为(0,1),

∴圆F的方程为x2+(y﹣1)2=8


(2)解:由题设 ,则

∵A,B,F三点在同一直线m上,

又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称.

由点A,B关于点F对称得:

得: ,直线 切点

直线

坐标原点到m,n距离的比值为


【解析】(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离 ,由△ABD的面积SABD= ,知 = ,由此能求出圆F的方程.(2)由对称性设 ,则 点A,B关于点F对称得: ,得: ,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值.
【考点精析】本题主要考查了圆的标准方程的相关知识点,需要掌握圆的标准方程:;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程才能正确解答此题.

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