题目内容
【题目】设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为 ,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
【答案】
(1)解:由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离 ,
∵△ABD的面积S△ABD= ,
∴ =
,
解得p=2,所以F坐标为(0,1),
∴圆F的方程为x2+(y﹣1)2=8
(2)解:由题设 ,则
,
∵A,B,F三点在同一直线m上,
又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称.
由点A,B关于点F对称得:
得: ,直线
,
切点
直线
坐标原点到m,n距离的比值为
【解析】(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离 ,由△ABD的面积S△ABD=
,知
=
,由此能求出圆F的方程.(2)由对称性设
,则
点A,B关于点F对称得:
,得:
,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值.
【考点精析】本题主要考查了圆的标准方程的相关知识点,需要掌握圆的标准方程:;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程才能正确解答此题.
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【题目】为研究男女同学空间想象能力的差异,孙老师从高一年级随机选取了20名男生、20名女生,进行空间图形识别测试,得到成绩茎叶图如下,假定成绩大于等于80分的同学为“空间想象能力突出”,低于80分的同学为“空间想象能力正常”.
(1)完成下面2×2列联表,
空间想象能力突出 | 空间想象能力正常 | 合计 | |
男生 |
|
| |
女生 |
| ||
合计 |
|
(2)判断是否有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关;
(3)从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生2名、女生2名,记其中成绩超过90分的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望. 下面公式及临界值表仅供参考:
P(X2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在30名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有20人,不超过100km/h的有10人.在20名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有5人,不超过100km/h的有15人.
(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关;
平均车速超过100km/h人数 | 平均车速不超过100km/h人数 | 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 | |||
(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为ζ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ζ的分布列和数学期望.
参考公式: ,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |