题目内容
【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在30名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有20人,不超过100km/h的有10人.在20名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有5人,不超过100km/h的有15人.
(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关;
平均车速超过100km/h人数 | 平均车速不超过100km/h人数 | 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 | |||
(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为ζ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ζ的分布列和数学期望.
参考公式: ,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】解:(Ⅰ)根据题意,填写列联表如下;
平均车数超过 人数 | 平均车速不超过 人数 | 合计 | |
男性驾驶员人数 | 20 | 10 | 30 |
女性驾驶员人数 | 5 | 15 | 20 |
合计 | 25 | 25 | 50 |
计算K2= =
≈8.333>7.879,
所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关;
(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆,
驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为 ,
所以ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ~B(3, ),
∴P(ξ=0)=
=
,
P(ξ=1)=
=
,
P(ξ=2)=
=
,
P(ξ=3)=
=
;
ξ的分布列为:
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | | | | |
数学期望为 ;
或
【解析】(Ⅰ)根据题意,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,求得从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆,驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率,知ξ的可能取值,且ξ~B(3, ),
计算对应的概率,写出ξ的分布列,计算数学期望值.
