Question

【题目】设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证： 为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)设，由题意可得，则，点在椭圆上，整理计算可得轨迹方程为.

(Ⅱ)分类讨论：当与轴重合时， .当与轴垂直时， .

当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为， ， ， 联立直线与椭圆的方程有，结合弦长公式有，

把直线与曲线椭圆联立计算可得.则.

据此，结论得证.

试题解析：

（Ⅰ）设，易知， ，

又因为，所以，

又因为在椭圆上，所以，即.

（Ⅱ）当与轴重合时， ， ，

∴.

当与轴垂直时， ， ，

∴.

当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为

此时设， ， ，

把直线与曲线联立，

得，

可得

∴，

把直线与曲线联立，

同理可得.

∴.